Desde La Veleta. From the Vane.: La bella teoria

El ritmo justo del azar

El azar, el puro azar tiene su "ritmo" justo de cambio. Ni más, ni menos. Lo podremos "tentar" ofreciéndole más y más grados de libertad ... él los tomará, pero no conseguiremos acelerar su ritmo bajo ningún concepto. Siempre seguirá fiel a sus "principios", que básicamente son muy sencillos. En cierta forma nos está dando una lección que deberíamos aprender.

Cada vez que lanzamos una moneda al azar puede salir cara o cruz, independientemente del resultado que hayamos obtenido en un lanzamiento anterior. Así de simples son las leyes que rigen el puro azar.

A partir de los resultados que vayamos obteniendo en sucesivos lanzamientos podemos confeccionar una tabla como la de la figura, que se corresponde con una tanda de 100 lanzamientos. Esta tabla y la que vamos a considerar, que en general puede contener miles de resultados es algo estático, sin movimiento, pero nos ayudará a desentrañar los entresijos del movimiento al azar que llamamos movimiento browniano, en honor al naturalista escocés Robert Brown que lo observó a principios del siglo XIX, cuando estudiaba suspensiones en el agua de granos de polen y esporas de musgos. Es un movimiento en zig zag, arbitrario, hacia cualquier dirección posible de desplazamiento.

A partir de una tabla, como la de la figura, tomaremos parejas consecutivas de unos y ceros.La primera parte de la pareja será la x y la otra la coordenada y. Los unos significarán "avanza 1" y los ceros querrán decir "retrocede 1". En un plano partiremos del punto (0,0) y conforme vayamos traduciendo la tabla a movimientos en el plano estaremos representando el movimiento aleatorio que hemos llamado browniano.

Azar y dimensión fractal
En un movimiento lineal cada uno de los puntos de su trayectoria viene definido por un solo número que nos indica su distancia al origen, se habla de que tiene una dimensión (el largo). En un plano necesitamos dos números para identificar cada uno de sus puntos, las coordenadas x/y o el largo y el ancho, por lo que decimos que tiene dos dimensiones. El movimiento browniano, como movimiento lineal que es tiene dimensión topológica 1, pero asombrosamente es capaz de recubrir el plano, de llenarlo. De ahí que digamos que su dimensión como fractal sea 2, porque es capaz de recubrir un espacio de dimensión 2. A las figuras tan tortuosas e intrincadas como este movimiento aleatorio, Benoit Mandelbrot las llamó fractales, del latín "fractus" que significa fracturado o roto, discontinuo.Y este movimiento es, sin lugar a dudas, muy buen representante de esta nueva categoría de objetos geométricos omnipresentes en la naturaleza.

Cada momento el movimiento aleatorio avanza o retrocede en sus coordenadas x ó y, independientemente de lo que hiciera en el instante anterior, tiene absoluta libertad para desplazarse a través de cada una de las coordenadas. Esta idea se tiende a trasladar cuando el movimiento ocurre en un espacio de tres dimensiones como nuestro espacio ordinario, o de más dimensiones, y es correcta. De la misma forma tendemos a pensar que, también, en un espacio tridimensional el movimiento browniano será capaz de llenarlo, o cubrirlo, por completo. Esa es la idea que tenía yo al empezar a estudiarlo y la idea que ha tratado de defender algún lector, en alguna ocasión, a capa y espada, pero como demostraremos es una idea equivocada.

La magia del número 2
El valor 2 que caracteriza la dimensión fractal de este movimiento, también se puede definir de una manera muy intuitiva: necesita realizar N² pasos para alejarse de un punto cualquiera de referencia, sólo, N pasos efectivos. En tres dimensiones debería efectuar N³ pasos totales para alejarse, sólo, N pasos efectivos, pero como veremos eso no depende del número de dimensiones o grados de libertad sino de una característica independiente de las propias del espacio en que se mueve. Para demostrar esto nos fijaremos en la definición intuitiva que relaciona la distancia total con la efectiva.

La distancia total que recorre la partícula animada por un movimiento browniano es proporcional al número de pasos N, sin embargo la distancia efectiva se encontraría después de sumar los desplazamientos positivos y negativos. Para definir el resultado de esa suma existe una medida de dispersión apropiada que llamamos desviación típica, que para la distribución binomial con la que se corresponde el azar como lo hemos considerado resulta ser la raíz_cuadrada(N/4), pues es igual a raíz_cuadrada(Npq), siendo n = p = 1/2, ya que la posibilidad de que salga 0 ó 1 es la misma, y su suma debe ser la unidad.

Después de N pasos, la distancia efectiva para cada dimensión, considerada independiente, será raíz_cuadrada(N/4). Si consideramos 3 dimensiones la distancia efectiva será raíz_cuadrada(3 N/4). Esta magnitud la comparamos con la distancia total recorrida después de los N pasos: N raíz_cuadrada(3). Para N suficientemente grande sólo resulta significativa la comparación entre N y raíz_cuadrada de N, independientemente de que multipliquemos los dos términos por 3, 4, 5, ... d, cualquiera que sean las dimensiones del espacio considerado. De la comparación anterior resulta el valor de 2 de su dimensión fractal, o la consideración de realizar N2 pasos totales para sólo conseguir N efectivos.

Recapitulando
El movimiento browniano sólo es capaz de recubrir un espacio de 2 dimensiones (un plano). En un espacio de 3 ó más dimensiones su "ritmo" de distanciamiento de cualquier punto arbitrario, que consideremos como referencia, no es lo suficientemente "lento" para poderlo recubrir. Para recubrir un espacio de 3 dimensiones su ritmo de distanciamiento debería ser de N3 pasos totales para recorrer sólo N (dimensión fractal 3), para un espacio de 4 dimensiones serían N4 pasos totales para sólo N efectivos, y así sucesivamente. Sin embargo, el ritmo del movimiento lo imprime la desviación típica de la distribución binomial, que no depende de la dimensión del espacio, y cuyo valor es invariablemente igual a la raíz_cuadrada (N/4). Por eso, sea cualquiera el espacio considerado con tres o más dimensiones la dimensión fractal del movimiento browniano seguirá siendo 2. Para aumentar la dimensión fractal del movimiento deberíamos conseguir que cada nuevo paso tuviera "memoria" del resultado de los pasos anteriores y así disminuir su "ritmo" de alejamiento. Es como si en una carrera de 2 Km. nos obligaran a cumplimentar 200 tareas diferentes a lo largo de diferentes puntos del trayecto. Para una cierta velocidad conseguimos cumplimentar sólo 100 tareas y nos damos cuenta que para cumplimentar las 200 debemos disminuir el ritmo, o de lo contrario será imposible. De la misma manera el azar tiene su "ritmo" y ese ritmo sólo le permite recubrir un plano, no un espacio de 3 ó más dimensiones.